En pensant aux Nombres remarquables, de François Le Lionnais et Jean Brette….
Par ordre croissant et pour les amateurs de poésie, quelques propriétés des permutations spirales pour les nombres de zéro à… (sans démonstrations). En insistant sur les « défauts de quenellité » des nombres non de Queneau – qui recèlent des potentialités à explorer.

Cette liste est proposée comme un catalogue, utilisable par toutes et tous. Mode d’emploi : il y a un nombre que vous voulez utiliser ou faire apparaître dans un poème (vous avez déjà une strophe de vingt-huit vers, vous avez un coup de foudre pour un garçon de vingt-huit ans, vous fêtez vos vingt-huit ans de mariage, enfin, ce que vous voulez…). Vous cherchez ce nombre dans la liste. Disons 28. Ce que vous dit la liste, c’est que vous pourrez écrire un poème de neuf strophes de vingt-huit vers (deux cent cinquante-deux vers), que le mot-rime numéro 19 de la première strophe sera à la place 19 dans toutes les strophes, et que les vers dont les numéros, dans chaque strophe, sont divisibles par 3 (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27), formeront une neuvine.

Résultat de discussions entre IM, MA, et Laura Monk.

Note : cette page contient tous les nombres de 0 à 100, tous les nombres de Queneau de 1 à 431, et beaucoup d’autres nombres. En cas de besoin non couvert par cette page, voir les listes sur la page « ordre des permutations » (qui contiennent tous les nombres de 1 à 10 000).

0 non.

1 oui. – C’est le seul nombre de Queneau qui est une puissance de 10.

2 oui. – La permutation spirale est d’ordre 2, c’est tout simplement

        1 2

        2 1


         – 2 est le seul nombre dont l’écriture décimale se termine par un 2 est qui est un nombre de Queneau.
         – C’est la seule puissance de 2 qui est un nombre de Queneau.
         – C’est un nombre de Sophie Germain, c’est-à-dire un nombre n premier tel que 2 n + 1 est aussi premier. Tous les nombres de Sophie Germain sont de Queneau.

3 oui.  – C’est un nombre de Sophie Germain.

4 non. – La permutation spirale donne

      1 2 3 4

      4 1 3 2

      2 4 3 1
          – Elle est d’ordre 3.
          – Il y a un mot-rime fixe, qui est le numéro 3.


          – 4 est une puissance de 2, voir « références », note (16).
          – D’ailleurs aucun multiple de 4 n’est un nombre de Queneau.
           – (4 est un multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, de sorte que la permutation spirale a un élément fixe, voir « références », notes (24) et (40)).
          – C’est un nombre de la forme 9 k + 4, donc il y a un cycle d’ordre 3. Voir « références », note (49).       
          – La décomposition en cycles : 4 = 3 + 1. Une 4-ine contient une térine.

5 oui. – C’est un nombre de Sophie Germain.

6 oui.

7 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7

7 1 6 2 5 3 4

4 7 3 1 5 6 2

2 4 6 7 5 3 1
          – Elle est d’ordre 4.
          – L’élément 5 est fixe.


          – Aucun nombre dont l’écriture décimale se termine par un 7 n’est de Queneau.
          – C’est une puissance de 2, moins 1, 2k - 1, et aucun de ces nombres (sauf 3) n’est de Queneau, voir « références », note (33).
          – C’est un multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, de sorte que la permutation spirale a un élément fixe, voir « références », notes (24) et (40).
          – La décomposition en cycles 7 = 4 + 2 + 1.
          – Septine de IM, ici. De MA, .
         
8 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8

8 1 7 2 6 3 5 4

4 8 5 1 3 7 6 2

2 4 6 8 7 5 3 1
          – Elle est d’ordre 4.


          – 8 est une puissance de 2.
          – La décomposition en cycles 8 = 4 + 4.

9 oui.

10 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10 1 9 2 8 3 7 4 6 5

5 10 6 1 4 9 7 2 3 8

8 5 3 10 2 6 7 1 9 4

4 8 9 5 1 3 7 10 6 2

2 4 6 8 10 9 7 5 3 1

            – Elle est d’ordre 6.

            – Le mot-rime numéro 7 est fixe.
            – Les mots-rimes numéros 3, 6, 9, sont permutés entre eux.
            – 10 est une puissance de 10 (si, si).  
            – C’est un multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, c’est pourquoi la permutation spirale a un élément fixe, voir « références », notes (24) et (40).
            – C’est un nombre de la forme 7 k + 3, c’est pourquoi il y a un cycle d’ordre 3, voir « références », note (66).
            – Décomposition en cycles : 10 = 6 + 3 + 1.
            – Le cycle d’ordre 6 n’est pas une sextine.
            – Dizines de IM, ici et . De PF, ici.

11 oui.

12 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7 6

6 12 7 1 5 11 8 2 4 10 9 3

3 6 9 12 10 7 4 1 2 5 8 11

11 3 8 6 5 9 2 12 1 10 4 7

7 11 4 3 10 8 1 6 12 5 2 9

9 7 2 11 5 4 12 3 6 10 1 8

8 9 1 7 10 2 6 11 3 5 12 4

4 8 12 9 5 1 3 7 11 10 6 2

2 4 6 8 10 12 11 9 7 5 3 1
            – Elle est d’ordre 10.
            – Les mots-rimes numéros 5 et 10 sont permutés entre eux.

            – 12 est un multiple de 4.
           
            – L’écriture décimale se termine par un 2.
            – Multiple de 5, plus 2, c’est pourquoi il y a un cycle d’ordre 2.   
            – La décomposition en cycles : 12 = 10 + 2.

13 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

13 1 12 2 11 3 10 4 9 5 8 6 7

7 13 6 1 8 12 5 2 9 11 4 3 10

10 7 3 13 4 6 11 1 9 8 2 12 5

5 10 12 7 2 3 8 13 9 4 1 6 11

11 5 6 10 1 12 4 7 9 2 13 3 8

8 11 3 5 13 6 2 10 9 1 7 12 4

4 8 12 11 7 3 1 5 9 13 10 6 2

2 4 6 8 10 12 13 11 9 7 5 3 1

            – Elle est d’ordre 9.

            – Le mot-rime numéro 9 est fixe.
            – 13 est un multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, c’est pourquoi la permutation spirale a un élément fixe.
            – C’est un nombre de la forme 9 k + 4, donc il y a un cycle d’ordre 3. Voir « références », note (49).
            – La décomposition en cycles : 13 = 9 + 3 + 1.
            – Le cycle d’ordre 9 n’est pas une neuvine.

14 oui.

15 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

15 1 14 2 13 3 12 4 11 5 10 6 9 7 8

8 15 7 1 9 14 6 2 10 13 5 3 12 11 4

4 8 12 15 11 7 3 1 5 9 13 14 10 6 2

2 4 6 8 10 12 14 15 13 11 9 7 5 3 1

            – Elle est d’ordre 5.

            – 15 est une puissance de 2, moins 1, 2k - 1.
            – La décomposition en cycles : 15 = 5 + 5 + 5.
            – Un des cycles (celui de 3) est une vraie quintine.

16 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

16 1 15 2 14 3 13 4 12 5 11 6 10 7 9 8

8 16 9 1 7 15 10 2 6 14 11 3 5 13 12 4

4 8 12 16 13 9 5 1 3 7 11 15 14 10 6 2

2 4 6 8 10 12 14 16 15 13 11 9 7 5 3 1

            – Elle est d’ordre 5.

            – Le mot-rime numéro 11 est fixe.
            – Les mots-rimes numéros 3, 6, 9 12, 15 forment une quintine.
            – 16 est une puissance de 2.
            – C’est un multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, c’est pourquoi la permutation spirale a un élément fixe (c’est le cas de la moitié des puissances de 2…).
            – La décomposition en cycles : 16 = 5 + 5 + 5 + 1.
            – Un des cycles de longueur 5 (celui de 3) est une vraie quintine.
            – Dernière nonine contenant une quintine non répétée.
            – Voir la seizine de IM et les quatre-vingts notes de MA.

17 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

17 1 16 2 15 3 14 4 13 5 12 6 11 7 10 8 9

9 17 8 1 10 16 7 2 11 15 6 3 12 14 5 4 13

13 9 4 17 5 8 14 1 12 10 3 16 6 7 15 2 11

11 13 2 9 15 4 7 17 6 5 16 8 3 14 10 1 12

12 11 1 13 10 2 14 9 3 15 8 4 16 7 5 17 6

6 12 17 11 5 1 7 13 16 10 4 2 8 14 15 9 3

3 6 9 12 15 17 14 11 8 5 2 1 4 7 10 13 16

16 3 13 6 10 9 7 12 4 15 1 17 2 14 5 11 8

8 16 11 3 5 13 14 6 2 10 17 9 1 7 15 12 4

4 8 12 16 15 11 7 3 1 5 9 13 17 14 10 6 2

2 4 6 8 10 12 14 16 17 15 13 11 9 7 5 3 1

            – Elle est d’ordre 12.

            – Les mots-rimes 7 et 14 sont permutés entre eux.
            – L’écriture décimale de 17 se termine par un 7.
            – Multiple de 5, plus 2, c’est pourquoi il y a un cycle d’ordre 2.
            – C’est un nombre de la forme 7 k + 3, donc il y a un cycle d’ordre 3, voir « références », note (66).
            – La décomposition en cycles : 17 = 12 + 3 + 2.

18 oui.

19 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

19 1 18 2 17 3 16 4 15 5 14 6 13 7 12 8 11 9 10

10 19 9 1 11 18 8 2 12 17 7 3 13 16 6 4 14 15 5

5 10 15 19 14 9 4 1 6 11 16 18 13 8 3 2 7 12 17

17 5 12 10 7 15 2 19 3 14 8 9 13 4 18 1 16 6 11

11 17 6 5 16 12 1 10 18 7 4 15 13 2 9 19 8 3 14

14 11 3 17 8 6 19 5 9 16 2 12 13 1 15 10 4 18 7

7 14 18 11 4 3 10 17 15 8 1 6 13 19 12 5 2 9 16

16 7 9 14 2 18 5 11 12 4 19 3 13 10 6 17 1 15 8

8 16 15 7 1 9 17 14 6 2 10 18 13 5 3 11 19 12 4

4 8 12 16 19 15 11 7 3 1 5 9 13 17 18 14 10 6 2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

            – Elle est d’ordre 12.

            – Le mot-rime numéro 13 est fixe.
            – 19 est un multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, c’est pourquoi la permutation spirale a un élément fixe.          
            – La décomposition en cycles : 19 = 12 + 6 + 1.
            – Le cycle de 3, qui est d’ordre 6 et se répète deux fois, est une sextine.

20 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

20 1 19 2 18 3 17 4 16 5 15 6 14 7 13 8 12 9 11 10

10 20 11 1 9 19 12 2 8 18 13 3 7 17 14 4 6 16 15 5

5 10 15 20 16 11 6 1 4 9 14 19 17 12 7 2 3 8 13 18

18 5 13 10 8 15 3 20 2 16 7 11 12 6 17 1 19 4 14 9

9 18 14 5 4 13 19 10 1 8 17 15 6 3 12 20 11 2 7 16

16 9 7 18 2 14 11 5 20 4 12 13 3 19 6 10 15 1 17 8

8 16 17 9 1 7 15 18 10 2 6 14 19 11 3 5 13 20 12 4

4 8 12 16 20 17 13 9 5 1 3 7 11 15 19 18 14 10 6 2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

             – Elle est d’ordre 10.

             – 20 est un multiple de 4.
             – La décomposition en cycles : 20 = 10 + 10.

21 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

21 1 20 2 19 3 18 4 17 5 16 6 15 7 14 8 13 9 12 10 11

11 21 10 1 12 20 9 2 13 19 8 3 14 18 7 4 15 17 6 5 16

16 11 5 21 6 10 17 1 15 12 4 20 7 9 18 2 14 13 3 19 8

8 16 19 11 3 5 13 21 14 6 2 10 18 17 9 1 7 15 20 12 4

4 8 12 16 20 19 15 11 7 3 1 5 9 13 17 21 18 14 10 6 2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

            – Elle est d’ordre 7.
           
            – La décomposition en cycles : 21 = 7 + 7 + 7.

22 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

22 1 21 2 20 3 19 4 18 5 17 6 16 7 15 8 14 9 13 10 12 11

11 22 12 1 10 21 13 2 9 20 14 3 8 19 15 4 7 18 16 5 6 17

17 11 6 22 5 12 16 1 18 10 7 21 4 13 15 2 19 9 8 20 3 14

14 17 3 11 20 6 8 22 9 5 19 12 2 16 15 1 13 18 4 10 21 7

7 14 21 17 10 3 4 11 18 20 13 6 1 8 15 22 16 9 2 5 12 19

19 7 12 14 5 21 2 17 9 10 16 3 22 4 15 11 8 18 1 20 6 13

13 19 6 7 20 12 1 14 18 5 8 21 11 2 15 17 4 9 22 10 3 16

16 13 3 19 10 6 22 7 9 20 4 12 17 1 15 14 2 18 11 5 21 8

8 16 21 13 5 3 11 19 18 10 2 6 14 22 15 7 1 9 17 20 12 4

4 8 12 16 20 21 17 13 9 5 1 3 7 11 15 19 22 18 14 10 6 2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

             – Elle est d’ordre 12.

             – Le mot-rime numéro 15 est fixe.
             – Les mots-rimes numérotés 9 et 18 sont permutés entre eux.
             – Les mots-rimes numérotés 5, 10, 20 sont permutés entre eux.
             – 22 se termine par un 2.
             – Multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, donc un élément fixe.
             – Multiple de 5, plus 2, c’est pourquoi il y a un cycle d’ordre 2.
             – Nombre de la forme 9 k + 4, c’est pourquoi il y a un cycle d’ordre 3.
             – La décomposition en cycles : 22 = 12 + 4 + 3 + 2 + 1.

23 oui.

24 non. – Multiple de 4.
             – C’est un nombre de la forme 7 k + 3, donc il y a un cycle d’ordre 3.
             – La permutation spirale est d’ordre 21.
             – La décomposition en cycles : 24 = 21 + 3.

25 non. – Multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, un élément fixe. L’élément numéro 17 est fixe.
             – La permutation spirale est d’ordre 8.
             – La décomposition en cycles : 25 = 8 + 8 + 4 + 4 + 1.

26 oui.

27 non. – Se termine par un 7.
            – Multiple de 5, plus 2, il y a un cycle d’ordre 2.
            – La permutation spirale est d’ordre 20.
            – Le cycle de 5 est une authentique quintine, répétée 4 fois.
            – La décomposition en cycles : 27 = 20 + 5 + 2.

28 non. – Multiple de 4.
             – Multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, un élément fixe (c’est 19).
             – La permutation spirale est d’ordre 9.
             – La décomposition en cycles : 28 = 9 + 9 + 9 + 1.
             – Le cycle de 3 (les vers dont le numéro est divisible par 3) est une authentique neuvine.

29 oui.

30 oui.

31 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

31 1 30 2 29 3 28 4 27 5 26 6 25 7 24 8 23 9 22 10 21 11 20 12 19 13 18 14 17 15 16

16 31 15 1 17 30 14 2 18 29 13 3 19 28 12 4 20 27 11 5 21 26 10 6 22 25 9 7 23 24 8

8 16 24 31 23 15 7 1 9 17 25 30 22 14 6 2 10 18 26 29 21 13 5 3 11 19 27 28 20 12 4

4 8 12 16 20 24 28 31 27 23 19 15 11 7 3 1 5 9 13 17 21 25 29 30 26 22 18 14 10 6 2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

            – Elle est d’ordre 6.

            – Le mot-rime numéroté 21 est fixe.
            – Puissance de 2, moins 1, 2k - 1.
            – Les mots-rimes numérotés 5, 10, 17, 20, 23, 29 forment une sextine.
            – Multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, donc un élément fixe .
            – Nombre de la forme 9 k + 4, donc il y a un cycle d’ordre 3.
            – Nombre aussi de la forme 7 k + 3, donc il y a un (autre) cycle d’ordre 3.
            – La décomposition en cycles : 31 = 6 + 6 + 6 + 6 + 3 + 3 + 1.
            – Le cycle de 5 est une authentique sextine.

32 non. – La permutation spirale donne

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32

32 1 31 2 30 3 29 4 28 5 27 6 26 7 25 8 24 9 23 10 22 11 21 12 20 13 19 14 18 15 17 16

16 32 17 1 15 31 18 2 14 30 19 3 13 29 20 4 12 28 21 5 11 27 22 6 10 26 23 7 9 25 24 8

8 16 24 32 25 17 9 1 7 15 23 31 26 18 10 2 6 14 22 30 27 19 11 3 5 13 21 29 28 20 12 4

4 8 12 16 20 24 28 32 29 25 21 17 13 9 5 1 3 7 11 15 19 23 27 31 30 26 22 18 14 10 6 2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 31 29 27 25 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1

            – Elle est d’ordre 6.

            – Les mots-rimes numérotés 5, 10, 15, 20, 25, 30 forment une sextine.
            – 32 est une puissance de 2.
            – Multiple de 5, plus 2, il y a un cycle d’ordre 2.
            – La décomposition en cycles : 32 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 2.
            – Le cycle de 5 est une authentique sextine.
            – Dernière nonine contenant une sextine non répétée.
            – Voir la trentedeuzine d’ongle et oncle de IM.

33 oui.

34 non. – Multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, un élément fixe (c’est 23).
            – La permutation spirale est d’ordre 22.
            – La décomposition en cycles 34 = 22 + 11 + 1.
            – Le cycle de 3 est une onzine… qui se répète (apparaît deux fois).

35 oui.

36 non. – Multiple de 4.
            – La permutation spirale est d’ordre 9.
            – La décomposition en cycles : 36 = 9 + 9 + 9 + 9.
            – Aucun de ces cycles n’est une neuvine.

37 non. – Se termine par un 7.
            – Multiple de 5, plus 2, il y a un cycle d’ordre 2.
            – Multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, un élément fixe (c’est 25).
            – La permutation spirale est d’ordre 20.
            – La décomposition en cycles : 37 = 20 + 10 + 4 + 2 + 1.

38 non. – De la forme 7 k + 3, il y a donc un cycle d’ordre 3.
            – La permutation spirale est d’ordre 30.
            – La décomposition en cycles : 38 = 30 + 5 + 3.
            – Le cycle de 7 est une quintine, répétée six fois.

39 oui.

40 non. – Multiple de 4.
             – Multiple de 3, plus 1, 3 k + 1, un élément fixe (c’est 27).
             – Nombre de la forme 9 k + 4, donc il y a un cycle d’ordre 3.
             – La permutation spirale est d’ordre 27.
             – La décomposition en cycles : 40 = 27 + 9 + 3 + 1.
             – Le cycle de 3 est d’ordre 9 mais n’est pas une neuvine.

41 oui.

42 non. – Se termine par un 2.
             – Multiple de 5, plus 2, il y a un cycle d’ordre 2.
             – La permutation spirale est d’ordre 8.
             – La décomposition en cycles : 42 = 8 + 8 + 8 + 8 + 4 + 4 + 2.

43 non. – Multiple de 3, plus 1, il y a un élément fixe (c’est 29).
            – La permutation spirale est d’ordre 28.
            – La décomposition en cycles : 43 = 28 + 14 + 1.
            – Le cycle de 3 est une 14-ine, répétée (qui apparaît deux fois).

44 non. – Multiple de 4.
             – La permutation spirale est d’ordre 11.
             – La décomposition en cycles : 44 = 11 + 11 + 11 + 11.
             – Aucun des cycles n’est une onzine.

45 non. – De la forme 7 k + 3, il y a un cycle d’ordre 3.
             – La permutation spirale  est d’ordre 12.
             – La décomposition en cycles est : 45 = 12 + 12 + 12 + 6 + 3.
             – Le cycle de 7 est une sextine, répétée (présente deux fois).

46 non. – Ordre 10.
             – Le cycle de 9 est une quintine (présente deux fois).

47 non. – Ordre 36.
             – Le cycle de 5 est une neuvine répétée (présente quatre fois).

48 non. – Ordre 24.

49 non. – Ordre 15.
             – Le cycle de 9 est une quintine (présente trois fois).

50 oui.

51 oui.

52 non. – Ordre 12.

53 oui. – Nombre des poissons rouges dans le bassin du square Louvois.

54 non. – Ordre 18.
             – La décomposition en cycles est : 54 = 18 + 18 + 18.
             – Aucun des cycles n’est une dixhuitine.    

55 non. – Ordre 36.
             – Le cycle de 3 est une dixhuitine répétée (présente deux fois).

56 non. – Ordre 14.
             – La décomposition en cycles est : 56 = 14 + 14 + 14 + 14.
             – Aucun des cycles n’est une quatorzine.

57 non. – Ordre 44.
             – Le cycle de 5 est une onzine répétée (apparaît quatre fois).

58 non. – De la forme 3 k + 1, il y a un élément fixe.
             – De la forme 9 k+ 4, il y a un cycle d’ordre 3.
             – La permutation spirale  est d’ordre 12.
             – La décomposition en cycles : 58 = 12 + 12 + 12 + 12 + 6 + 3 + 1.
             – Le cycle de 9 est une sextine répétée (présente deux fois).

59 non. – Ordre 24.

60 non. – Ordre 55.
             – Le cycle de 11 est une quintine répétée (présente onze fois).

61 non. – Ordre 20.

62 non. – Ordre 50.
             – Le cycle d’ordre 50 n’est pas une cinquantine.

63 non. – Puissance de 2, moins 1, 26-1.
            – La permutation spirale est donc d’ordre 7.
            – La décompostion en cycles est donc : 63 = 7 + … + 7 (9 fois).

64 non. – Puissance de 2, 26.
             – De la forme 3 k + 1, il y a donc un élément fixe.
             – La permutation spirale est d’ordre 7.
             – La décomposition en cycles est donc : 64 = 7 + … + 7 (9 fois) + 1.

65 oui.

66 non. – Ordre 18.
             – Décomposition en cycles : 66 = 18 + 18 + 18 + 9 + 3.
             – Aucun des cycles d’ordre 18 n’est une dixhuitine.
             – Le cycle de 7 est une neuvine répétée (apparaît deux fois).

67 non. – Ordre 36.

68 non. – Ordre 34.

69 oui.

70 non. – Ordre 46.
             – Le cycle de 3 est une vingttroisine répétée (apparaît deux fois).

71 non. – La permutation spirale est d’ordre 60.
            – La décomposition en cycles est : 71 = 60 + 6 + 5.
            – Le cycle de 11 est d’ordre 6. C’est une authentique sextine, répétée (apparaît 10 fois).
            – Le cycle de 13 est d’ordre 5. C’est une authentique quintine, répétée (apparaît 12 fois).

72 non. – Il y a un cycle d’ordre 2.
             – La permutation spirale est d’ordre 14.
             – Le cycle de 5 est d’ordre 14 et une authentique 14-ine.
             – La décomposition en cycles : 72 = 14 + 14 + 14 + 14 +2.

73 non. – Ordre 42.

74 oui.

75 non. – Ordre 15.

76 non. – Ordre 24.

77 non. – Ordre 20.
            – Le cycle de 15 est une quintine répétée (présente quatre fois).

78 non. – Ordre 26.

79 non. – Ordre 52.
             – Le cycle de 3 est une vingtsixine répétée (présente deux fois).

80 non. – Ordre 33.
             – Le cycle de 7 est une onzine répétée (apparaît trois fois).

81 oui.

82 non. – Ordre 20.
             – Le cycle de 15 est une quintine répétée (présente quatre fois).

83 oui. 

84 non. – Ordre 78.
             – Le cycle de 13 est une sextine répétée (présente treize fois).

85 non. – Ordre 9.
             – Le cycle de 9 est une authentique neuvine.

86 oui. – Le 86 va à Saint-Germain.

87 non. – Ordre 60.

88 non. – Il y a un élément fixe.
             – Ordre 29.
             – Le cycle de 3 est une authentique 29-ine.

89 oui.

90 oui.

91 non. – Ordre 60.
            – Le cycle de 3 est une trentine répétée (apparaît deux fois).

92 non. – Il y a un cycle d’ordre 2.
             – Ordre 18.
             – Le cycle de 5 est une authentique 18-ine.

93 non. – Ordre 40.
             – Le cycle de 17 est une quintine répétée (apparaît huit fois).

94 non. – Ordre 18.
             – Le cycle de 15 est une sextine répétée (apparaît trois fois).

95 oui.

96 non. – Ordre 48.

97 non. – Ordre 12
             – Le cycle de 15 est une sextine répétée (apparaît deux fois).

98 oui.

99 oui.

100 non. – Il y a un élément fixe.
              – Ordre 33.
              – Le cycle de 3 est une authentique 33-ine.



105 oui.



113 oui.



119 oui.



124 non. – Il y a un élément fixe.
              – Ordre 41.
              – Le cycle de 3 est une authentique 41-ine.



131 oui.

132 non. – Il y a un cycle d’ordre 2.
             – Ordre 26.
             – Le cycle de 5 est une authentique 26-ine.



134 oui.

135 oui.



141 non. – L’ordre est 47.
              – La décomposition en cycles : 141 = 47 + 47 + 47.



146 oui.



152 non. – Il y a un cycle d’ordre 2.
              – Ordre 30.
              – Le cycle de 5 est une authentique 30-ine.



155 oui.



158 oui.



160 non. – Il y a un élément fixe.
              – Ordre 53.
              – Le cycle de 3 est une authentique 53-ine.



173 oui.

174 oui.



179 oui.



183 oui.



186 oui.



189 oui.



191 oui.



194 oui.



196 non. – Il y a un élément fixe.
              – Ordre 65.
              – Le cycle de 3 est une authentique 65-ine.


208 non. – Il y a un élément fixe.
              – Ordre 69.
              – Le cycle de 3 est une authentique 69-ine.

209 oui.

210 oui.



219 non. – C’est le numéro de la BO « papier » Le monde des nonines.
             – Ordre 73.
             – Il y a trois cycles, ceux de 1, 5 et 11, chacun d’ordre 73.



221 oui.



230 oui.

231 oui.



233 oui.



239 oui.



243 oui.

244 non. – Il y a un élément fixe.
              – Ordre 81.
              – Le cycle de 3 est une authentique 81-ine.

245 oui.



251 oui.

252 non. – Il y a un cycle d’ordre 2.
              – Ordre 50.
              – Le cycle de 5 est une authentique 50-ine.



254 oui.



256 non. – Puissance de 2.
               – La permutation spirale est d’ordre 9.
               – Le cycle de 27 est une authentique neuvine.
               – Dernière nonine contenant une neuvine non répétée.



261 oui.



268 non. – Il y a un élément fixe.
              – Ordre 89.
              – Le cycle de 3 est une authentique 89-ine.



270 oui.



273 oui.



278 oui.



281 oui.



293 oui.



299 oui.



303 oui.



306 oui.



309 oui.



316 non. – Il y a un élément fixe.
              – Ordre 105.
              – Le cycle de 3 est une authentique 105-ine.



323 oui.



326 oui.



329 oui.



330 oui.



338 oui.



340 non. – Il y a un élément fixe.
              – Ordre 113.
              – Le cycle de 3 est une authentique 113-ine.



350 oui.



354 oui.



359 oui.



371 oui.

372 non. – Il y a un cycle d’ordre 2.
              – Ordre 74.
              – Le cycle de 5 est une authentique 74-ine.



375 oui.



378 oui.



386 oui.



393 oui.



398 oui.



410 oui.

411 oui.



413 oui.

414 oui.



419 oui.



426 oui.



429 oui.



431 oui.

432 non. – Il y a un cycle d’ordre 2.
              – Ordre 86.
              – Le cycle de 5 est une authentique 86-ine.



520 non. – Il y a un élément fixe.
              – Ordre 173.
              – Le cycle de 3 est une authentique 173-ine.



1 023 non. – Puissance de 2, moins 1.
                – La permutation spirale est d’ordre 11.
                – Le cycle de 89 est une authentique onzine.

1024 non. – Puissance de 2.
                – La permutation spirale est d’ordre 11.
                – Le cycle de 89 est une authentique onzine.
                – Dernière nonine contenant une onzine non répétée.



8 192 non. – Puissance de 2.
                 – La permutation spirale est d’ordre 14.
                 – Le cycle de 585 est une authentique quatorzine.
                 – Dernière nonine contenant une quatorzine non répétée.




131 072 non. – Puissance de 2.
                    – La permutation spirale est d’ordre 18.
                    – Le cycle de 7 085 est une authentique dixhuitine.
                    – Dernière nonine contenant une dixhuitine non répétée.



4 194 303 non. – Puissance de 2, moins 1.
                        – La permutation spirale est d’ordre 23.
                        – Le cycle de 178 481 est une authentique vingttroisine.



33 554 432 non. – Puissance de 2.
                          – La permutation spirale est d’ordre 26.
                          – Le cycle de 1 266 205 est une authentique vingtsixine.
                          – Dernière nonine contenant une vingtsixine non répétée.



268 435 456 non. – Puissance de 2.
                            – La permutation spirale est d’ordre 29.
                            – Le cycle de 9 099 507 est une authentique vingtneuvine.
                            – Dernière nonine contenant une vingtneuvine non répétée.



536 870 912 non. – Puissance de 2.
                            – La permutation spirale est d’ordre 30.
                            – Le cycle de 17 602 325 est une authentique trentine.
                            – Dernière nonine contenant une trentine non répétée.



4 294 967 296 non. – Puissance de 2.
                                – La permutation spirale est d’ordre 33.
                                – Le cycle de 128 207 979 est une authentique trentetroisine.
                                – Dernière nonine contenant une trentetroisine non répétée.

… sera rempli ultérieurement…